青葉台旭のノートブック

ゲームのルール

分かりやすいようにカードに置き換えて説明する。

1. ３枚のカードが伏せて並べられている。うち１枚が「当たり」で２枚が「ハズレ」である。
2. 親は、どのカードが当たりかを知っているが、プレイヤーは知らない。
3. プレイヤーは３枚のうち１枚を選択するが、まだカードを裏返してはいけない。自分が選んだカードの当たり／ハズレを知る事は許されない。（第１の選択）
4. 親は、残った２枚のうち、ハズレのカードを１枚だけ取り除く。
5. 場には、プレイヤーが選択したカード（伏せられたまま）が１枚と、もう１枚のカードが残っている。
6. 場に残った２枚のカードから１枚を選び直すチャンスが、１度だけプレイヤーに与られる。最初に選んだカードを再度選んでも良いし、もう１枚のカードに変更しても良い。（第２の選択）
7. カードが捲（めく）られ、当たり／ハズレが決定される。

マリリン・ボス・サバントの問いと答え

史上もっともＩＱの高い人物としてギネス認定されたマリリン・ボス・サバントという人が、こんな問いかけをした。

問い「第２の選択で、カードを変更した方が得か、それとも変更せず最初に選んだカードのままの方が得か？」

サバント曰く、この問いの答えは以下になる。

答え「カードを変更すると、当たりの確率が２倍になるから、変更した方が良い」

数学者たちの反響

このサバントの問いと答えに対し、アメリカ全土の名だたる数学者たちが一斉に反論した。

「カードを変更しようが、変更しなかろうが、確率は２分の１だ」と。

しかし正しいのはサバントで、当時反論した数学者たちは間違っていたと、現在では証明されている。

私も最初は騙された

私も、最初は、『第２の選択』でカードを変更しようが、変更しなかろうが確率は２分の１だろうと思っていた。

「だって、第１の選択と第２の選択は互いに独立した行為なんだから、第１の選択が第２の選択に影響を及ぼすはずないだろ」と。

もし、カードを変更した方が当たり確率が上がるのなら、例えば、第１の選択をした後でプレイヤーを別室に連れて行き、代わりに、それまでの経緯を全く知らない別のプレイヤーを連れてきて選ばせたら、どうなるのか？
伏せられたカードのうち一方が当たりで一方がハズレなんだから、やっぱり確率は２分の１だろ、と思った。

やっぱりサバントが正しかった

しかし、よくよく考えてみると、確かにカードを変更しなかった時の当たり確率は３分の１で、変更すると確率は３分の２になる。

何故かと言えば、第２の選択直前の時点で、場に伏せられた２枚のカードの内訳は「当たりカードが１枚、ハズレ・カードが１枚」に必ずなっているからだ。

最初に選んだカードが当たりなら、もう１枚は必ずハズレで、最初に選んだカードがハズレなら、もう１枚は必ず当たりになっている。

だから、第２の選択でカードを変更すると当たり／ハズレが必ず逆転する。
第１の選択でハズレを引いていれば必ず当たりに、当たりを引いていれば必ずハズレになる。

第１の選択で当たりを選ぶ確率は３分の１、ハズレを選ぶ確率は３分の２。
それが逆転するのだから、カード変更後の確率は、当たりが３分の２で、ハズレが３分の１になる。

それでも悩んだ

確かにサバントの言う通り、第２の選択でカードを変更すると確率は２倍になる。

それでも私は悩んだ。

「しかし、じゃあ、それまでの経緯を全く知らない誰かを連れてきて第２の選択をさせたら、どうなる？
伏せた２枚のカードのうち１枚が当たりで１枚がハズレなんだら、やっぱりどちらを選ぼうと確率は２分の１じゃないか？」と。

しばらくして、はたと気づいた

あっ、そうか、最初に選ばれたカードには、 マーカーが付いているのか。

言ってみれば、最初に選ばれたカードには、マジックで『このカードを最初に選びました。その時の確率は３分の１でした』というサインが書かれているようなものだ。

そして親がハズレ・カードを１枚抜くことで、見ための確率は２分の１に偽装される。
マーカーの付いているカードが当たりである確率は３分の１のままであるにも関わらず、だ。

親の存在

ここで重要なのは親の存在だ。

まず大前提として、親は どのカードが当たりか知っている。

そして第１の選択後、第２の選択前に、ハズレ・カードを一枚取り除くという行為によって、ゲームに干渉している。

これによって、親は、あたかも確率が２分の１であるかのように偽装する。（親が意図する・しないは関係ない。ハズレ・カードを１枚抜くという行為が、実質的に『偽装』として機能する）

別の言い方をしよう。

親がハズレ・カードを場から抜くと言う行為は、プレイヤーの当たり確率を上げる。
第１の選択でプレイヤーが選ばなかった２枚のカードのうち 確実にハズレ札だけを取り除いているのだから、それだけで単純に、残った札の当たり確率は２倍に跳ね上がっている 。

答えへの道筋を知って、やっとスッキリした

ここまで辿（だど）り着くのに、ずいぶん時間が掛かってしまった。

ようやくスッキリした。

持っている情報によって確率が変わる

今、目の前に２枚のカードが伏せられた状態で並んでいる。
１枚が当たりで、１枚がハズレであるという事だけはわかっている。

カードを選ぶチャンスは１度切り。右か、左か。

他に何の情報も持たないプレイヤーにとっては、確率２分の１だ。

しかし、そのカードがどういう経緯を経て目の前にあるのかを知っている者にとって、確率は必ずしも平等に２分の１ずつではない。

極端な話、イカサマをしてカードの裏側を知っている者にとっては、例えば「右が当たりの確率１００％、左が当たりの確率はゼロ」という事になる。

町を歩いている人を無作為に連れて来て、その人物が右利きか左利きかをプレイヤーに当てさせる。

両手利きとか、そういう特殊な例は除外する。
右か左、どちらかが必ず利き腕である。

さてプレイヤーはどちらを選ぶだろうか？　右か？　左か？

もちろん、大部分のプレイヤーは右を選ぶだろう。
右利きの人間の方が圧倒的に多いと誰もが知っているからだ。

しかし、そんな事を知らない宇宙人を連れて来て、１回だけ同じ質問をしたら、どうだろうか？
その宇宙人にとって、確率は２分の１という事になる。

競馬を全く知らない人間を１度だけ競馬場に連れて来て、１０頭の馬の中から１着を選べと言ったとする。
彼にとって、１０頭の馬のうち任意の馬が勝つ確率は、どれも平等に１０分の１だ。
しかし博打好きにとっては、そうでは無いだろう。

情報を全く持たないプレイヤーの１回こっきりの試行は、確率が平均化される。
３枚のカードなら、３分の１。
右か左かなら、２分の１。
１０頭の競馬なら、１着を当てる確率は１０分の１。
何も知らなければ、そして１回こっきりの賭けなら、それは「私が選ぶ」という行為のみによって成立している賭けだ。
選ばれる側の確率偏差それ自体が賭けの中に組み込まれる。
情報が増えると、その情報に関する未知数が確定し既知の物になるので、その要素は賭けの不確定性から取り除かれ、当たりを引く確率が上がる。

別の方向から表現してみよう。
あなたは、友人と２人で陸上競技場の観客席にやって来た。
スタートラインには６人の男たちが立っていて、今まさに競技を始めようとしている。
そのうち、第１コースの男だけが筋骨たくましく足が速そうで、残りの５人の勝ち目は無さそうだ。
あなたの友人が言う。
「誰が１位になるかを当てたら、１万円あげるよ」
あなたは、内心（しめしめ、楽勝だ。第１コースの男が勝つに決まっている）と、ほくそ笑む。
この時点で、あなたの勝率は限りなく１００％に近い。
ところが、あなたの友人は、続けて奇妙な事を言う。
「ただし条件がある。どの選手に賭けるかは、サイコロを振って決めてくれ」
この瞬間、あなたの勝率は１００％から、わずか６分の１に下がってしまう。
事前の情報無し試行すると言うのは、例えばこういう事だ。
同じレースでも主観的な確率は全く違う。